무한의 법칙
병장 이승일 01-10 16:37 | HIT : 177
15분 이내에 짧게 써야하기 때문에 자세한 이야기는 할 수 없겠지만, 아래 이영기씨의 글에 달린 리플들을 보고, 무한에 관한 일반적인 오해를 조금이나마 불식시켜야겠다는 생각에서 몇자 적어봅니다.
아주 간단간단하게 적겠습니다. 자세한 설명은 나중에 시간있을 때 하고 '무한에 관해 참인 명제들' 만 나열하겠습니다.
0. 무한집합의 정의 :
임의의 집합 X에 대해, 자기 자신의 진부분집합과 대등할 때 X 는 무한집합이라고 한다. 두 집합의 크기가 대등하다는 것은 두 집합 사이에 전단사(일대일 대응) 이 존재함을 의미한다.
고로 무한집합이란, 부분이 전체와 대등한 집합이다.
예) 자연수의 집합과, 그 부분집합인 짝수의 집합은 서로 대등하다.(즉 개수가 같다.)
1. 무한 집합 중, 자연수집합과 같이 1, 2, 3, 4 .... 이렇게 셀 수 있는 집합을 가부번집합이라고 한다. 더 정확히 말하자면, 자연수 집합과 대등한 집합을 가부번집합이라고 한다.
2. 모든 가부번집합의 크기는 대등하다.
3. 유리수 전체의 집합은 자연수 집합과 일대일 대응이 가능하며, 따라서 가부번집합이다.
4. 두 무한집합 A. B가 있을 때, A는 B 의 부분집합과 일대일대응이 가능한데 반해 B는 A의 부분집합과 일대일 대응이 불가능하다면, A의 기수(A의 원소의 갯수)는 B의 기수보다 크다. (일반적으로 집합의 기수를 card(A) 라고 표시한다.
예를 들어 card({x | x는 대한민국 국민}) = 약 4천500만)
5. 4에서 제시한 방식에 따라 연산을 해보면, 실수 전체의 집합은 유리수나 자연수 전체의 집합보다 크다. 실수의 집합을 R 이라고 하고, 자연수의 집합을 N 이라고 하면,
card(R) > card(N)
6. 마찬가지 방법으로 실수보다 더 큰 집합을 얻어낼 수 있는데, 2차원 평면상에서 정의 가능한 함수 f(x) 의 갯수는 실수 전체의 집합보다 더 크다.
2차원 평면상에서 정의 가능한 함수의 집합을 F 라고 하면,
card(F) > card(R)
7. 심지어 이들 기수 사이에는 다음과 같은 수적인 연산규칙이 존재한다.
2^card(N) = card(R)
2^card(R) = card(F)
2의 card(F) 승을 하면 더 큰 집합의 기수가 얻어진다. 이런식으로 끝없이 계속할 수 있다.
짧은 결론 :
우리가 일반적으로 생각하는 자연수의 무한은 모든 무한중에서 가장 작은 무한에 속하며, 실수(연속체)의 갯수는 자연수의 갯수보다 훨씬 많고, 이보다 더 큰 집합들도 무궁무진하게 존재합니다. 자신의 얄팍한 인상, 느낌 따위에 의해 무한을 생각한다면 아무 것도 얻을 수 없으며 단지 '무한은 그냥 생각할 수 없을 정도로 많은 것' 혹은 '세상에 무한은 없다' 정도의 초등학생 결론에 이를 수밖에 없지요.
무한에는 정밀한 법칙들이 존재하며, 그것은 모두 우리의 직관적인 상상을 초월합니다.
나중에 시간 있으면 자세한 이야기를 쓰거나 혹은 말거나 (...)
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상병 김현동
16.64.10.33 결론 너무 무섭다. 덜덜덜. 01-10 *
병장 이윤창
32.1.4.101 죄송하지만
이데온이 왜 자꾸 생각날까[역시 난 오탁후인가 쩝] 01-10 *
병장 임정우
5.5.1.102 무한이란 녀석 정말 대단하네요. [오싹] 01-10 *
일병 김대윤
52.2.6.190 저는...이런글을 보면... 반항심이 생기는지(땀)
역시... 수학공부를... 산수를... 열심히 했어야 했나봅니다(웃음)
머리로 하는 것보다 가슴으로 느끼는게 편하니 말입니다 01-10 *
병장 이영기
48.9.5.129 음음? 나도 뭔가 틀린건가? (.........)
나도 틀린거야? (........) 01-10 *
상병 박수영
22.49.63.53 음음. 잘 보았습니다. 01-10 *
병장 이승일
54.2.9.70 071가 틀릴리가
앗, 수영씨다. 반가워요. 01-10 *
상병 박민근
22.52.4.52 무한때문에 미쳐버린 수학자도 있는데..
가끔 생각해보면 왜 그렇게 되었는지 이해가 가기도 하군요..
참 재밌는게 가장 큰 무한이라는 것도 무한일것 같아요.
집합론을 이산수학 범위밖에 본게 없어서 .... (흑흑) 01-10 *
병장 이승일
54.2.9.70 가장 큰 무한은 존재하지 않는다는게... 민근씨가 말한 그 미쳐버린 수학자가 증명한 정리중에 하나입니다.켁 01-10 *
상병 박민근
22.52.4.52 무한의 기호처럼 뫼비우스 띠같은 느낌이 드는군요.
가장 큰 무한도 없다면 가장 작은 무한도 없겠네요?
그 증명 한번 찐하게 보고 싶어요.
비록 미칠지라도.... (과연 이해라도 할수 있을라나..?)
이래서 수학이 재밌는것 같아요. 01-11 *
병장 이승일
54.2.9.70 가장 작은 무한은 존재하며 자연수 전체 집합의 기수가 가장 작은 무한입니다. 이보다 더 작은 무한이 없다는 것과 가장 큰 무한이 없다는 것에 대한 증명은 시간 날 때 올려보겠습니다. 01-11 *
병장 김택근
26.112.3.117 이승일/ 아님니다 최근에 읽은 교양수학책에 보면 정수집합의 무한과 자연수집합의 무한은
서로 비교할수 없습니다 엄연한 '무한'이기때문에.. 01-11 *
병장 이승일
54.2.9.70 택근 / 그것은 그 책이 교양 수학책이라서 그렇습니다. (....)
정수집합과 자연수집합 사이에는 일대일 전단사가 존재하며 따라서 서로 대등하답니다. 01-11 *